基本的には今日の何日後と同じです。

1回目の日付入力欄（#startDate）、2回目の日付入力欄（#secondDate）、日数入力欄（#days）、計算ボタン（#calculate）、結果出力欄を6個（#result1～6）用意します。

#result1は2回目の調剤予定日、#result2はその7日前、#result3はその7日後

#result4は3回目の調剤予定日、#result5はその7日前、#result6はその7日後

という感じです。

<form>

  1回目の調剤日：<input type="date" id="startDate">
  投薬期間：<input type="number" id="days" min="1"> 日分

  <input type="button" id="calculate" value="計算！">

  2回目の調剤予定日：<output id="result1"<>/output>
  2回目の持参期間：<output><span id="result2"></span>～<span id="result3"></span></output>

  2回目の調剤日：<input type="date" id="secondDate">
  3回目の調剤予定日：<output id="result4"></output>
  3回目の持参期間：<output><span id="result5"></span>～<span id="result6"></span></output>

</form>

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#startDateの初期値を今日の日付に設定します。

window.onload = function() {
  var date = new Date()
  var year = date.getFullYear()
  var month = date.getMonth() + 1
  var day = date.getDate()
  var toTwoDigits = function(num, digit) {
    num += ''
    if (num.length < digit) {
      num = '0' + num
    }
    return num
  }

  var yyyy = toTwoDigits(year, 4)
  var mm = toTwoDigits(month, 2)
  var dd = toTwoDigits(day, 2)
  var ymd = yyyy + "-" + mm + "-" + dd;

  document.getElementById("startDate").value = ymd;
}

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ちょっと長いですがスクリプト（jQuery）は以下のような感じです。

$(document).ready(function() {
  $('form').submit(function(event) {
    event.preventDefault();
    calculateResults();
    updateResults();
  });
  $('#days').keydown(function(event) {
    if(event.keyCode === 13) {
      event.preventDefault();
      calculateResults();
      updateResults();
    }
  });
  $('#calculate').click(function() {
    calculateResults();
    updateResults();
  });
  $('#secondDate').change(function() {
    updateResults();
  });
  var defaultDays = 30;
  $('#days').val(defaultDays);
  calculateResults();
  function calculateResults() {
    var startDate = new Date($('#startDate').val());
    var days = parseInt($('#days').val());
    var secondDate = $('#secondDate');
    if(isNaN(startDate.getTime()) || isNaN(days) || days < 1) {
      return;
    }
    var result1 = new Date(startDate);
    result1.setDate(result1.getDate() + days);
    var formattedResult1 = `${result1.getFullYear()}-${(result1.getMonth() + 1).toString().padStart(2, '0')}-${result1.getDate().toString().padStart(2, '0')}`;
    secondDate.val(formattedResult1);
    var formatDate = function(date) {
      var dayOfWeekStrJP = ["日", "月", "火", "水", "木", "金", "土"];
      return `
${date.getFullYear()}年
${(date.getMonth() + 1).toString().padStart(2, '0')}月
${date.getDate().toString().padStart(2, '0')}日
${dayOfWeekStrJP[date.getDay()]}曜日
      `.replace(/\n|\r/g, '');
    };
    $('#result1').text(formatDate(result1));
    var result2 = new Date(result1);
    result2.setDate(result2.getDate() - 7);
    $('#result2').text(formatDate(result2));
    var result3 = new Date(result1);
    result3.setDate(result3.getDate() + 7);
    $('#result3').text(formatDate(result3));
  }
  function updateResults() {
    var secondDate = new Date($('#secondDate').val());
    var startDate = new Date($('#startDate').val());
    var days = parseInt($('#days').val());
    var result4 = new Date(secondDate);
    result4.setDate(result4.getDate() + days);
    var formatDate = function(date) {
      var dayOfWeekStrJP = ["日", "月", "火", "水", "木", "金", "土"];
      return `
${date.getFullYear()}年
${(date.getMonth() + 1).toString().padStart(2, '0')}月
${date.getDate().toString().padStart(2, '0')}日
${dayOfWeekStrJP[date.getDay()]}曜日
      `.replace(/\n|\r/g, '');
    };
    $('#result4').text(formatDate(result4));
    var result5 = new Date(result4);
    result5.setDate(result5.getDate() - 7);
    $('#result5').text(formatDate(result5));
    var result6 = new Date(result4);
    result6.setDate(result6.getDate() + 7);
    $('#result6').text(formatDate(result6));
  }
});

ちょっとだけChatGPTに手伝ってもらいました。

startDateにdaysを足すとresult1になり、secondDateにdaysを足すとresult4になるのですが、result1をsecondDateに代入するのと、secondDateを手動で変更した時にresult4が更新されるようにするのに苦戦しました。

secondDateの日付がresult2～3の範囲外だったらエラーを返す、とかできたらよかったのですが、私はここで力尽きました。